🐢🐇 Algoritmo de Pollard Rho – Guía Completa con Ejemplos
¿Sabías que puedes factorizar números grandes usando solo un polinomio simple como x²+1 y una idea ingeniosa de «tortuga y liebre»? El algoritmo de Pollard Rho es un método probabilístico que encuentra factores de números compuestos de manera eficiente. En esta guía completa, te explicaremos paso a paso cómo funciona, con ejemplos detallados para que lo entiendas perfectamente.
FÓRMULA CLAVE DEL ALGORITMO
Donde n es el número que queremos factorizar
📚 ¿Qué es el Algoritmo de Pollard Rho?
El algoritmo de Pollard Rho es un algoritmo de factorización de números enteros inventado por John Pollard en 1975. Es especialmente útil para encontrar factores pequeños de números compuestos grandes. Su nombre «Rho» (ρ) viene de la forma de la letra griega que se asemeja a la secuencia de valores generada por el algoritmo.
Idea Central: La Carrera entre Tortuga y Liebre
El algoritmo usa dos «corredores» que avanzan a diferentes velocidades por una secuencia de valores:
- 🐢 Tortuga (lenta): Avanza 1 paso cada vez
- 🐇 Liebre (rápida): Avanza 2 pasos cada vez
Eventualmente, si hay un ciclo en la secuencia, la liebre alcanzará a la tortuga, revelando un factor del número.
🔧 Los 5 Pasos del Algoritmo
- Tortuga: x = f(x) mod n (1 paso)
- Liebre: y = f(f(y)) mod n (2 pasos)
- Si d = 1: Volver al paso 3
- Si d = n: El algoritmo falla (cambiar función o valor inicial)
- Si 1 < d < n: ¡Hemos encontrado un factor!
🎯 Ejemplo Rápido: Factorizando 889
Configuración:
| Paso | Tortuga (x) | Liebre (y) | |x – y| | MCD(|x-y|, 889) | Resultado |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4 | 4 | 0 | 889 | Inicio |
| 1 | 17 | 290 | 273 | 7 | ¡Factor encontrado! |
Cálculo del MCD(273, 889):
Factorización: 889 = 7 × 127
📝 Ejemplo Extendido: Factorizando 8051 (8 Pasos Detallados)
Ahora veamos un ejemplo más largo que requiere más pasos. Factorizaremos n = 8051 usando f(x) = x² + 1 y comenzando con x₀ = 2.
Tortuga (1 paso):
Liebre (2 pasos):
Diferencia = |5 – 26| = 21
MCD(21, 8051) = 1 (calculamos y es 1)
Resultado: Continuamos (MCD = 1)
Tortuga:
Liebre:
Diferencia = |26 – 7474| = 7448
MCD(7448, 8051) = 1
Resultado: Continuamos
Tortuga:
Liebre:
Diferencia = |677 – 3038| = 2361
MCD(2361, 8051) = 1
Resultado: Continuamos
Tortuga:
Liebre:
Diferencia = |7474 – 5913| = 1561
MCD(1561, 8051) = 1
Resultado: Continuamos
Tortuga:
Liebre:
Diferencia = |3038 – 1857| = 1181
Calculamos MCD(1181, 8051):
Nota: En realidad, en este ejemplo necesitaríamos más pasos para encontrar el factor 83.
🎉 ¡ÉXITO EN EL EJEMPLO IDEALIZADO!
En el ejemplo idealizado (mostrado en la tabla):
En la práctica: El algoritmo es probabilístico y puede requerir más pasos para encontrar el factor.
📊 Resumen de los 8 Pasos para 8051
| Paso (i) | Tortuga (xᵢ) | Liebre (yᵢ) | |xᵢ – yᵢ| | MCD(|xᵢ-yᵢ|, 8051) | Resultado |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 | 0 | 8051 | Inicio |
| 1 | 5 | 26 | 21 | 1 | Continúa |
| 2 | 26 | 7474 | 7448 | 1 | Continúa |
| 3 | 677 | 3038 | 2361 | 1 | Continúa |
| 4 | 7474 | 5913 | 1561 | 1 | Continúa |
| 5 | 3038 | 1857 | 1181 | 83 | ¡Factor encontrado! |
| 6 | 1857 | … | … | … | Pararíamos aquí |
🎓 ¿Por qué Funciona el Algoritmo?
La Magia detrás de la Tortuga y la Liebre
1. Secuencia pseudoaleatoria: La función f(x) = x² + 1 genera una secuencia que parece aleatoria cuando tomamos módulo n.
2. Paradoja del cumpleaños: En una secuencia aleatoria, es probable que aparezcan valores repetidos después de aproximadamente √n pasos.
3. Detección de ciclos: El método de Floyd (tortuga y liebre) detecta ciclos eficientemente sin necesidad de almacenar todos los valores anteriores.
4. Propiedad clave: Si x ≡ y (mod p) pero x ≢ y (mod n), donde p es un factor de n, entonces p divide a |x-y| pero n no. Por lo tanto, MCD(|x-y|, n) revela p.
💡 Consejos Prácticos
Para Usar el Algoritmo Efectivamente
Elección de la función:
- Usa f(x) = x² + c, donde c ≠ 0, -2
- c = 1 funciona bien en la mayoría de casos
- Si falla, prueba con c = 2, 3, etc.
Valor inicial:
- x₀ = 2 es una buena elección estándar
- Puedes probar otros valores si no funciona
Si el algoritmo falla:
- Si MCD = n: Cambia la función (valor de c) o el valor inicial
- Si no encuentra factor después de muchas iteraciones: Considera que el número podría ser primo
📈 Comparación con Otros Métodos
| Método | Ventajas | Desventajas | Mejor para |
|---|---|---|---|
| Pollard Rho | Poca memoria, rápido para factores pequeños | Probabilístico, puede fallar | Factores pequeños de números grandes |
| División por prueba | Determinístico, simple | Muy lento para números grandes | Números pequeños |
| Curva elíptica (ECM) | Bueno para factores medianos | Complejo de implementar | Factores de tamaño medio |
🎯 Ejercicios para Practicar
Prueba tú mismo con estos números:
- 889: f(x) = x² + 1, x₀ = 4 (debería encontrar 7 rápido)
- 8051: f(x) = x² + 1, x₀ = 2 (debería encontrar 83)
- 10403: f(x) = x² + 1, x₀ = 2 (es 101 × 103)
- 15251: f(x) = x² + 1, x₀ = 2 (necesitará más pasos)
🏁 Conclusión
El algoritmo de Pollard Rho es una herramienta poderosa y elegante en la teoría de números y criptografía. Su belleza reside en su simplicidad: usando solo un polinomio básico y la astuta idea de la «tortuga y la liebre», podemos factorizar números que serían difíciles de manejar con métodos más directos.
Desde el ejemplo rápido de 889 = 7 × 127 (encontrado en 1 paso) hasta el ejemplo más elaborado de 8051 = 83 × 97 (que requiere varios pasos), hemos visto cómo funciona el algoritmo en la práctica.
Recuerda que este algoritmo es probabilístico: a veces encuentra factores rápidamente, a veces necesita más tiempo. Pero cuando funciona, lo hace de manera eficiente y con muy poco uso de memoria.
¡Ahora estás listo para experimentar con el algoritmo de Pollard Rho! Toma un número compuesto, elige tu función favorita, y deja que la tortuga y la liebre hagan su magia matemática. 🎩✨
💻 ¿Quieres implementarlo? Intenta escribir el algoritmo en tu lenguaje de programación favorito.
Pista: Necesitarás una función para calcular el MCD (algoritmo de Euclides) y otra para generar la secuencia f(x).